Estudiantes
I. Par ordenado:
Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos
en un determinado orden:
(a; b)
primer
componente
segundo
componente
Importante:
1. (a; b) ≠ (b; a) → No es conmutativo
2. (a; b) = (c; d) → a = c ∧ b=d
II. Producto cartesiano:
Es el conjunto de pares ordenados (a; b) donde
a ∈ B ∧ b ∈B; es decir:
A × B= {(a; b)/a ∈A ∧ b ∈ B} ; A ≠ ∅ ∧ B ≠ ∅
Propiedades
1. A × B ≠ B ×A
2. n(A × B) = n(A). n(B)
III. Relación :
Se llama relación de A en B a todo subconjunto R
de A × B, es decir:
R es una relación de A en B ⇔ R ⊂ A × B
En particular, si A = B, R se llama una relación en
A.
IV. Dominio:
Se llama dominio de una relación R al conjunto
de todos los elementos (a ∈ A) en las que existe
por lo menos un (b ∈ B) con (a; b) ∈ R.
V. Rango:
Se llama rango una relación R al conjunto de todos
los elementos (b ∈ B) con (a; b) ∈ R
Ejemplo:
R = {(–2; 0); (–1; 3); (–7; 7); (–8; 4); (–5; 4)}
DomR = {–2; –1; –7; –8; –5}
RanR= {0; 3; 7; 4}
VI. Funciones
A. Definición:
Sean A y B dos conjuntos no vacíos (pudiendo
ser A = B), llamaremos función definida
en A a valores en B (función de A en B) a toda
relación:
F ⊂ A × B
Que tiene la propiedad:
(a; b) ∈ f y (a; c) ∈ f ⇒ b = c
Es decir, una función f es un conjunto de pares
ordenados de elementos , en la que dos pares distintos
nunca tienen el mismo primer elemento.
B. Notación
Si f es una función de A en B se designa así:
F : A → B o
a b
A B
Se lee f es una función de A en B
Ojo: si (a; b) ∈ f → f(a)= b
●● Si f es una función de A en B el conjunto
A se llamara conjunto de partida de la
función y B al conjunto de llegada.
●● El dominio de una función f se designa
por Df y se define como el siguiente conjunto:
Df = {x ∈ A/ ∃! y : tal que (x;y) ∈ f}
Es decir, son las primeras componentes
de los pares ordenados.
●● El rango (o imagen) de una función f se
designa por Rf o Imf y se define como el
conjunto siguiente :
Rf = {y ∈B / ∃ x ; tal que (x;y) ∈ f}
Es decir, son los segundos componentes
de los pares ordenados .
I. Par ordenado:
Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos
en un determinado orden:
(a; b)
primer
componente
segundo
componente
Importante:
1. (a; b) ≠ (b; a) → No es conmutativo
2. (a; b) = (c; d) → a = c ∧ b=d
II. Producto cartesiano:
Es el conjunto de pares ordenados (a; b) donde
a ∈ B ∧ b ∈B; es decir:
A × B= {(a; b)/a ∈A ∧ b ∈ B} ; A ≠ ∅ ∧ B ≠ ∅
Propiedades
1. A × B ≠ B ×A
2. n(A × B) = n(A). n(B)
III. Relación :
Se llama relación de A en B a todo subconjunto R
de A × B, es decir:
R es una relación de A en B ⇔ R ⊂ A × B
En particular, si A = B, R se llama una relación en
A.
IV. Dominio:
Se llama dominio de una relación R al conjunto
de todos los elementos (a ∈ A) en las que existe
por lo menos un (b ∈ B) con (a; b) ∈ R.
V. Rango:
Se llama rango una relación R al conjunto de todos
los elementos (b ∈ B) con (a; b) ∈ R
Ejemplo:
R = {(–2; 0); (–1; 3); (–7; 7); (–8; 4); (–5; 4)}
DomR = {–2; –1; –7; –8; –5}
RanR= {0; 3; 7; 4}
VI. Funciones
A. Definición:
Sean A y B dos conjuntos no vacíos (pudiendo
ser A = B), llamaremos función definida
en A a valores en B (función de A en B) a toda
relación:
F ⊂ A × B
Que tiene la propiedad:
(a; b) ∈ f y (a; c) ∈ f ⇒ b = c
Es decir, una función f es un conjunto de pares
ordenados de elementos , en la que dos pares distintos
nunca tienen el mismo primer elemento.
B. Notación
Si f es una función de A en B se designa así:
F : A → B o
a b
A B
Se lee f es una función de A en B
Ojo: si (a; b) ∈ f → f(a)= b
●● Si f es una función de A en B el conjunto
A se llamara conjunto de partida de la
función y B al conjunto de llegada.
●● El dominio de una función f se designa
por Df y se define como el siguiente conjunto:
Df = {x ∈ A/ ∃! y : tal que (x;y) ∈ f}
Es decir, son las primeras componentes
de los pares ordenados.
●● El rango (o imagen) de una función f se
designa por Rf o Imf y se define como el
conjunto siguiente :
Rf = {y ∈B / ∃ x ; tal que (x;y) ∈ f}
Es decir, son los segundos componentes
de los pares ordenados .
