I. Proposici贸n
L脫GICA
La l贸gica es una ciencia que estudia los m茅todos o procedimientos que aplican definiciones y leyes o reglas con el prop贸sito de determinar la validez o invalidez de las proposiciones.
Es una expresi贸n ling眉铆stica libre de ambig眉edades, que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa, pero nunca ambas simult谩neamente.
1. Variable proposicional
Por comodidad las expresiones o proposiciones son representadas por letras latinas: p, q, r, s, ...
llamadas variables proposicionales.
2. Clases de proposici贸n
a) Proposici贸n simple
Llamada tambi茅n proposici贸n at贸mica, mon谩dica o monarca son reemplazadas por una sola
variable.
b) Proposici贸n compuesta
Llamadas tambi茅n proposiciones moleculares o esquemas moleculares, se obtiene de los combinaciones
de las proposiciones simples.
3. Conectivos l贸gicos
Llamados tambi茅n: operadores, signos de enlace, conectores, factores,..., etc.
a) negaci贸n
Es un operador mon谩dico que afecta a una proposici贸n o conjunto de proposiciones, se simboliza ( ).
Su tabla de verdad resulta:
V F
F V
p p
b) Conjunci贸n
Relaciona proposiciones mediante el conectivo “y”, se le denota con ( ∧ ).
V V V
V F F
F V F
F F F
p q p ∧q
c) Disyunci贸n d茅bil o inclusiva Relaciona proposiciones mediante el conectivo
“o”. Se le denota con ( ∨ ).
V V V
V F V
F V V
F F F
p q p ∨q
d) Disyunci贸n fuerte o exclusiva Relaciona proposiciones mediante el conectivo “o... o ...”, se le denota con ( 螖 ).
Su tabla de verdad es:
V V F
V F V
F V V
F F F
p q
e) Condicional
Relaciona proposiciones mediante el conectivo “si, ... entonces...”, se denota con ( → ).
Se toman en cuenta como sin贸nimos del condicional las expresiones: “siempre que”, “por lo
tanto”, “luego”, “implica”, ..., etc.
La condicional es falsa 煤nicamente cuando el antecedente es V y el consecuente es F, su tabla
de verdad resulta:
V V V
V F F
F V V
F F V
p q p →q
f) Bicondicional
Relaciona proposiciones mediante el conectivo “si y solo si”, se le denota con ( ↔ ).
Se toman en cuenta como sin贸nimos de la bicondicional “cuando y s贸lo cuando”, “entonces
y s贸lo entonces”, “es una condici贸n necesaria y suficiente”.
La condicional es verdadera cuando ambas proposiciones tiene el mismo valor de verdad o
falsedad, su tabla de verdad resulta:
V V V
V F F
F V F
F F V
p q p ↔q
4. Tablas de verdad (total de combinaciones de una tabla)
Si el esquema molecular de una tabla est谩 formada por n variables proposicionales, entonces a cada variable proposicional se le asigna 2n valores, mitad verdaderas y mitad falsas.
De acuerdo al resultado obtenido en el operador principal, los esquemas moleculares se clasifican
en:
a) Consistentes o de contingencia: Cuando en el operador principal hay por lo menos una verdad y una falsedad.
b) Tautol贸gico: Se obtiene cuando el operador principal todos son verdaderas.
c) Contradictorio: Se obtiene cuando en el operador principal todos los valores son falsos.
d) Implicaci贸n: Es el nombre que asume una condicional cuando al evaluarlo resulta tautol贸gico.
e) Equivalencia: Es el nombre que asume una bicondicional cuando al evaluarlo resulta tautol贸gico.
E JERCICIOS RESUELTOS
1. El equivalente de la proposici贸n: “Si Juan es deportista, mantiene una dieta estricta”, es:
Resoluci贸n
Simbolizando: Si Juan es deportista, mantiene una dieta estricta.
p = Juan es deportista.
q = mantiene una dieta estricta.
Observamos que: p →q esto equivale a: p ∨q por condicional
Luego:
“Juan no es deportista o mantiene una dieta estricta” ≡ “Juan mantiene una dieta estricta o no
es deportista”.
∴ (p →q ) ≡ ( p ∨q )
2. Si la proposici贸n es F, determinar los valores de p,
q y r:
[p →(q →r )]→p
Resoluci贸n
Sabemos:
[ ]
V F
p →(q →r ) → p ≡ F
Luego: p →(q→r ) ≡ V Obs: p = F
Reemplazando F * dos casos:
1.er caso * q →r ≡ F ⇒q = V, r = F ∴p = F, q = V, r = F
2.潞 caso * q →r ≡ V ⇒q = V y r = V o q = F y r = F
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